РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ МЕТОДОМ СФЕРИЧЕСКИХ СРЕДНИХ

Богдан Анна Михайловна

Authors

Богдан Анна Михайловна Ферганский Государственный Университет, факультета математики-информатики, направление математики, студентка третьего курса Author

Keywords:

Дифференциальные уравнения в частных производных с сингулярными коэффициентами, кривизна поверхностей, Единственность решения задачи Коши, классический метод сферических средних.

Abstract

В статье рассматривается решение задачи Коши для многомерного обобщенного уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу с использованием метода сферических средних. Основное внимание уделяется разработке и анализу подхода, который позволяет эффективно обрабатывать сложные многомерные задачи, возникающие в теории нелинейных уравнений и математической физике. Метод сферических средних предоставляет новый инструмент для упрощения вычислений и получения аналитических решений, что особенно актуально для задач с высокими размерностями. В статье представлены теоретические обоснования предложенного метода, а также его применения к конкретным классам уравнений. Результаты показывают, что предложенный подход может существенно улучшить качество и скорость решения задач Коши, открывая новые возможности для исследований в области математического моделирования.

References

Эйлер Леонард. Интегральное исчисление. -M.: ГИФМЛ, 1958. т.3. 447 с.

Reimann B. Vercuch einer allgemeinen auffassung der integration und differentiation // Gessammelte Mathematische Werke. Leipzing: Teubner, 1876. P.331-334.

Poisson S.D. Memoire sur L’integration des equations lineaires aux differences partielles // J.l’Ecole Rog. Politechn, 1823, n.12. P. 215-248.

Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. 1915. Vol.2.

Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.:Л.-Гостезиздат, 1947, 192 с.

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.

Weinstein A. Sur le probleme de Cauchy pour l‘equation de Poisson et l‘equation des ondes // C.R. Acad. Sci. Pris. 1952. T. 234. P. 2584-2585.

Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory // Bull. Amer. Math. Soc. 1953. Vol. 59? N 1. P. 20-38.

Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson // Wave motion and vibration theory. Proc. Sympos. Appl. Math. N. Y. : McGraw-Hill, 1954. Vol.5. P. 137-147.

Weinstein A. The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation. // Summa Brasil Math. 1955. Vol. 3. P. 125-147.

Weinstein A. On a singular differential operator. //Ibid. 1960. T. 49. P. 359-365.

Капилевич М.Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа.//Математический сборник. 1952. т.30 (72) №1 с. 11-38.

Каримов Ш.Т. Задача Коши для многомерного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу со спектральным параметром. // Труды международной научной конференции "'Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики.'' Ташкент. 2004.т.1 ст.~234 - 235.

Young E.C. On a generalized Euler-Poisson-Darboux equation //J. Math. and Mech. 1969. Vol.18, N 12. P.1167-1175.

Diaz J.B., Weinberger H.F. A solution of the singular initial value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation// Proc. Amer. Math. Soc. 1953. Vol. 4, N 5. P. 703-715.

Blum E. K. The Euler-Poisson-Darboux equation in the exceptional cases //Proc. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 5, N 4. P. 511-520.

Blum E. K.: A uniqueness theorems for the Euler - Poisson - Darboux equation, Bull.Amer. Math. Soc.Abstract 59-4-350.

Bresters D. W. On the Euler - Poisson - Darboux equation. //SIAM J. Math. Anal. 1973. Vol. 4, N 1. P. 31.41.

Fox D.W.: The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem, J.Math.Mech. 8 (1959), 197_220.

Курант Р. Уравнения с частными производными. -М.; Мир, 1964. с. 830.

Evans L.C. Partial Differential Equation. AMS, Berkeley, 1997. 664 p.

Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа, часть I, II, М: “Наука”, 1973.

Urinov A.K., Karimov S.T. Solution of the Cauchy Problem for Generalized Euler-Poisson-Darboux Equation by the Method of Fractional Integrals. Progress in Partial Differential Equations. Springer International Publishing, (2013), 321-337.

Karimov S.T. The Cauchy Problem for the Iterated Klein–Gordon Equation with the Bessel Operator. Lobachevskii Journal of Mathematics, 41 (5), -2020, pp. 772 – 784.

Karimov S.T., Shishkina E.L. Some methods of solution to the Cauchy problem for a inhomogeneous equation of hyperbolic type with a Bessel operator. Journal of Physics: Conference Series, 1203 (1), -2019.

Urinov A.K., Karimov S.T. On the Cauchy Problem for the Iterated Generalized Two-axially Symmetric Equation of Hyperbolic Type. Lobachevskii Journal of Mathematics, 41 (1),- 2020, pp. 102 - 110